§3.4. Арбитражное решение

Рассмотрим ящик Эджворта и построим в нём переговорное множество (см. рис. 4).


Рисунок 4

Построим контрактную кривую . Точка T, находящаяся на пересечении двух кривых и , является точкой угрозы. Отрезок на кривой контрактов между точками и представляет собой переговорное множество.
Каждой точке на кривой контрактов соответствует определённые значения полезностей каждого из участников и . Таким образом, каждой точке на кривой контрактов соответствует пара чисел и Всей кривой контрактов соответствует геометрическое множество точек на координатной плоскости (см. рис. 5.).
Рисунок 5

На рис.5. в точке 0 а На рис. 3.5. этой точке соответствует точка с координатами . В точке на рис. 3.4. а На рис.5 ей соответствует точка с координатами .
Двигаясь из точки в точку , мы будем увеличивать полезность первого игрока и уменьшать полезность второго. Получим кривую AB. Она называется кривой Парето-эффективных решений для данной игры (иногда эту кривую называют множеством Парето-оптимальных решений). Изобразим на рис. 5. точку T0 , где и – полезности участников в точке угрозы. Условием заключения контракта будут условия индивидуальной рациональности . На рис.5 этим условиям будет соответствовать дуга .
Дуга представляет собой переговорное множество, которое, в свою очередь, является подмножеством множества Парето-эффективных решений, для которого выполняются условия индивидуальной рациональности.
Любая точка на кривой для каждого из участников лучше, чем точка T0. Переход из любой точки кривой в другую точку этой кривой улучшает положение одного из участников, ухудшая при этом положение другого. Возникает вопрос о существовании какого-либо оптимального компромиссного решение?
Д. Нэш доказал, что существует (при том единственное) решение задачи с торгом, удовлетворяющее следующим критериям:
1. Решение является эффективным (оптимальным) по Парето.
2. Полезность каждого участника при этом решении не меньше, чем в точке угрозы.
3. Решение не изменится, если сумма общего выигрыша будет преобразована по линейному закону где – первоначальная сумма общего выигрыша; и – Это свойство называется инвариантностью относительно линейного преобразования.
4. Решение не изменится, если перенумеровать участников игры (свойство симметрии).
5. Независимость от альтернатив, не имеющих отношения к делу. Это значит, что все возможные альтернативы, которые рациональные игроки не будут использовать, можно исключить из рассмотрения.
Нэш доказал, что решением, которое удовлетворяет всем вышеперечисленным критериям, является решение, для которого функция достигает своего максимума на множестве точек переговорного множества . Решение справедливо для любого конечного числа игроков. Если имеются два игрока, то решение Нэша принимает вид:
,
при условии, что .
В чём смысл каждого из пяти критериев решение Нэша?
Первый. Рассмотрим игру с двумя участниками, полезности которых равны и соответственно (см. рис. 6.)
Рисунок 6


При переходе от A к B полезности обоих участников возрастают. Таким образом, B – Парето-эффективнее, чем A, и C – Парето-эффективнее, чем A. Сравнивая B и C, мы находим, что C – выгоднее, чем B для первого участника, но не выгодно для второго. Это


обстоятельство говорит о том, что решения B и C являются несопоставимыми по Парето.
Если альтернативными для участников являются решения A, B и C, то рациональные участники отбросят решение A как Парето-неэффективное и оставят B и C. Очевидно, что оптимальным решением будет либо решение C, либо решение B.
Этот критерий означает, что игроки рассматривают только эффективные по Парето решения.
Второй. Этот критерий соответствует условиям индивидуальной рациональности.
Третий. Предположим, что общую сумму выигрышей двух участников увеличили вдвое. Очевидно, что вдвое увеличится полезность каждого из участников. Требуется ли при этом искать новые решения для этой комбинации? Если пользоваться решением Нэша, то этого делать не нужно. В частности, третий критерий означает, что переход от одной единицы измерения к другой не изменяет решения Нэша. Такие решения Нэша не изменятся, если каждой полезности добавить некоторую константу.
Четвёртый. Решение, найденное для одной нумерации, не изменится при другой нумерации.
Пятый. Если для случая, описанного на рис. 6, ввести четвёртую альтернативу D, то решение не изменится, потому что альтернатива D не будет рассматриваться отдельными игроками.
Решение Нэша называют также арбитражным решением. Это объясняется тем, что, если бы участники игры обратились к независимому арбитру для решения их торгового спора (т.е. для выбоора точки в переговорном множестве), то решение арбитра совпало бы с решением Нэша.
Пример. Пусть вожди племён (см. выше рассмотренный пример) обратились к старейшине (арбитру) для решения их спора. Требуется найти решение, которое примет старейшина.
Решение. Найдём на плоскости множество Парето-оптимальных решений (см. рис.7). Для этого найдём функциональную зависимость между полезностями племён и . Ранее было получено, что на контрактной кривой имеет место система уравнений

Рисунок 7


Арбитражное решение – это такое решение, при котором достигает своего максимума произведение
,
где .
Рассматривая кривую, на которой
где получаем, что – уравнение гиперболы.
Максимизируя произведение (3.10), будем смещать гиперболу вверх и вправо до тех пор, пока она не окажется не границе допустимой области. В этом положении гипербола будет касаться кривой .
Уравнение (3.10) равносильно задаче об отыскании условного экстремума

Решим эту задачу с помощью функции Лагранжа:

Решая эту систему, находим решение (единственное). Очевидно, что найденное решение и будет координатами точки касания гиперболы и торгового множества.
Множество решений кооперативной игры называется множеством Парето-оптимальных решений, если:
1. Для всех решений найдётся такое решение что для первого участника решение будет лучше чем и не хуже чем для всех остальных участников.
2. Для всех двух решений переход от к улучшает положение хотя бы одного участника и ухудшает положение хотя бы одного другого. Т.е. и являются решениями несравнимыми по Парето.
На рис. 8. изображена область Парето-эффективных решений.

Рисунок 8

Все ли решения на кривой KM являются Парето-оптимальными? Т.к. а то получается, что область – область Парето-оптимальных решений. Дуга Парето-оптиальных решений всегда имеет отрицательный наклон. Вопрос о её выпуклости и вогнутости не имеет однозначного ответа.
Пример. Если два участника игры решают заключить контракт, т.е. решают предпринимать кооперативные действия, то их обмены будут располагаться на контрактной кривой. Пусть на контрактной кривой полезности участников связаны уравнением .
Решение. Найдём на плоскости множество Парето-оптимальных решений (см. рис.9).
Рисунок 9

Пусть при прежних условиях

.
На рис.10 изобразим множество Парето-эффективых решений.

,
т.е. кривая имеет отрицательный наклон и является вогнутой.
Рисунок 10


Для случая, когда в обмене участвуют товары, на которые распространяется закон Госсена (убывание предельной нормы замещения), характерна выпуклая форма Парето-оптимального множества. Эта форма используется в большинстве задач.