§3.3. Эффективность обмена. Ящик Эджворта

Рассмотрим экономику, в которой имеется два участника, которые могут обмениваться двумя благами. Суммарное количество первого блага обозначим a, суммарное количество второго блага – b. Пусть первоначально первый участник имел набор благ , а второй – . Могут ли при этом участники улучшить своё нынешнее положение, обмениваясь между собой благами, т.е. вступать в коалиции? Будем считать, что заданы функции полезности: – для первого участника и – для второго. Будем также считать, что издержки на получение информации, заключение контрактов и поиск партнёров (трансакционные издержки) равны нулю.
Для ответа на этот вопрос Эджворт предложил свою модель – Ящик Эджворта.

Рисунок 1

Изобразим карту кривых безразличия для каждого из участников (см. рис. 1). Можно ли улучшить положение первого участника, не ухудшая при этом положение второго.
В пределе мы получим точку A на кривой безразличия , в которой эта кривая касается кривой безразличия первого участника. Рассуждая аналогично, можно улучшить положение второго участника, не ухудшая при этом положение первого. Лучшее решение будет находиться в точке B, где кривая касается кривой . Таким образом, мы получим множество точек, в которых кривая безразличия первого участника касается кривой безразличия второго участника. Это множество точек лежит на кривой , которая называется контрактной кривой.

Рассмотрим контрактную кривую с точки зрения эффективности по Парето. На рис. 1., при переходе от точки M к точке A, первый участник улучшает своё положение, а положение второго остаётся неизменным; при переходе от точки M к точке B, положение второго участника улучшается, а положение первого остаётся неизменным. Таким образом, получается, что положение A предпочтительнее положения B, а положение B, в свою очередь, предпочтительнее положения M.
При переходе от A к B полезность одного из участников увеличивается, а полезность другого уменьшается. Такие решения называются Парето-несопоставимыми.

Множество решений, которые являются Парето-предпочтительными по сравнению с решениями, не входящими в данное множество, называют множеством Парето-эффективных решений. Таким образом, контрактная кривая является множеством решений, эффективных по Парето.

Пример. Вернёмся к вопросу об улучшении условий каждого участника при обмене.
Рисунок 2

Очевидно, что первый участник согласится на обмен, при котором его кривая безразличия сдвинется вверх и вправо (Рис.2), а второй участник, согласится на обмен, при котором его кривая безразличия сдвинется вниз и влево. Таким образом, множество эффективных обменов будет лежать на контрактной кривой между точками и . Этот участок объединяет множество решений, которые могут принимать участники в ходе переговоров (торга). Именно поэтому, это множество называется переговорным.
Найдём условие, которым удовлетворяют элементы переговорного множества. Условие Парето-эффективности означает, что игроки решают одну из двух задач. Либо первый игрок максимизирует свою полезность, при условии, что полезность второго игрока сохраняет своё стационарное значение, т.е. (задача 1), либо второй игрок максимизирует свою полезность при условии, что .
Какая именно из двух задач будет решаться, зависит от того, кто из игроков обладает большей властью или, другими словами, имеет преимущество в переговорной силе. Если такое преимущество имеет первый игрок, то будет решаться задача 1, если таким преимуществом обладает второй игрок, то решаться будет соответственно задача 2. Очевидно, что

Решим задачу 1, т.е.

Имеем задачу нахождения условного экстремума для функции . Для её решения используем функцию Лагранжа.

Найдём частные производные и приравняем их к нулю.

.


Отсюда получаем условие первого порядка (необходимое условие экстремума, касающиеся первых производных)

Исключая параметр получим уравнение:

В уравнении (3.7) предельные полезности продуктов обмена для первого игрока

Предельная норма замещения продукта x продуктом y для первого игрока будет в этом случае равна:


.
Таким образом, из условия первого порядка следует уравнение:

Следовательно, все точки на контрактной кривой удовлетворяют уравнению (3.8). К уравнению (3.8) нужно добавить условия индивидуальной рациональности:

Решение задачи максимизации полезности вторым игроком (задача 2) будет аналогичным.
Если оба продукта x и y являются нормальными товарами, то можно показать, что в некоторой точке переговорного множества будет выполняться и условие второго порядка. Следовательно, контрактная кривая описывается уравнением (3.8). Переговорное множество удовлетворяет уравнению (3.8) и системе неравенств (3.9).
Пример. Два туземных племени живут охотой и рыболовством. Для того, чтобы природные ресурсы не истощались, правительство установило общие квоты на отлов рыбы и отстрел дичи: рыбы – не более 100 тонн в год; дичи – не более 400 тонн в год.
Первоначально первое племя добывало 60 тонн рыбы и 20 тонн дичи, а второе племя добывало 40 тонн рыбы и 20 тонн дичи.
Предположим, что каждое из племён имеет собственную функцию полезности:
 где – количество рыбы, а – количество дичи;
 где – количество рыбы, а – количество дичи.
Вожди обоих племён собрались и решили заключить соглашение об охоте и рыболовстве, выполнение которого должно увеличить полезность каждого племени. Требуется найти множество контрактов, улучшающих положение каждого племени, т.е. необходимо найти контрактную кривую.
Решение. Изобразим ящик Эджворта (см. рис.3.)
Рисунок 3

Найдём уравнение контрактной кривой, для чего обратимся к функции (3.8). Найдём предельные нормы замещения:

Подставляя в уравнение (3.8), получим

Уравнение (***) – уравнение контрактной кривой.
Для того, чтобы на контрактной кривой определить переговорное множество, нужно найти полезности каждого племени в точке угрозы:

Найдём полезность каждого племени в точках на контрактной кривой:
.
Получаем условия индивидуальной рациональности.