Рассмотрим неантагонистическую игру двух лиц. с функциями выигрышей и Исход игры будем называть равновесным, если ни одному из участников не выгодно отклоняться от нёё в одностороннем порядке. Именной такой смысл понятию равновесие придал Джон Нэш. Запишем строгое определение равновесия по Нэшу.


Стратегии и называются стратегиями равновесными по Нэшу, если выполняются следующие неравенства:
(2.3)
Таким образом, равновесие Нэша характеризуется тем, что ни одному из участников не выгодно отклоняться от своей равновесной стратегии, если другой участник применяет стратегию, равновесную по Нэшу. Заметим, что это определение сохраняется и для игры с любым числом участников.
Пример. Найти равновесные по Нэшу стратегии в примере 2 (Таблица 1).
Решение. Выпишем все возможные стратегии обоих участников в матрицу и отыщем для каждого из исходов альтернативные исходы, более предпочтительные с точки зрения одного из игроков:

В игре имеется два равновесия по Нэшу . Как правило, равновесие по Нэшу не является единственным.
Существуют игры, в которых нет равновесия в чистых стратегиях. Кроме равновесия в чистых стратегиях случае, может существовать равновесие Нэша в смешанных стратегиях.
Смысл смешанной стратегии для биматричной игры будем определять так же, как и для матричных игр. Смешанная стратегия первого и второго участников есть соответственно вектора X={x1, x2,…xm} и Y={y1, y2,…, yn}, где и (2.4)
Множества смешанных стратегий будем обозначать так же, как множества чистых стратегий – Sx для 1-го игрока и Sy для 2-го.
Функции выигрышей первого и второго игроков при смешанных стратегиях X и Y определяются по формулам
Η1(x,y)=∑aijxiyj, Η2(x,y)=∑bijxiyj (2.5)
Равновесные по Нэшу смешанные стратегии будем обозначать X* и Y* соответственно. Вопрос существования равновесия по Нэшу решается следующей теоремой, доказанной Дж. Нэшем.
Теорема о равновесии по Нэшу. В любой биматричной игре существует, по крайней мере, одно равновесие Нэша. (Без доказательства).
Замечание. Это могут быть равновесия в чистых или смешанных стратегиях.
В общем случае биматричной игры нахождение смешанных равновесий является сложной задачей, но для матриц размера 2x2 решение в смешанных стратегиях найти несложно.
Рассмотрим биматричную игру, в которой каждый игрок имеет две чистые стратегии. Смешанные стратегии игроков будем обозначать x={x1, x2} и y={y1, y2} соответственно, где 0≤xi≤1, 0≤yj≤1, x1+x2=1, y1+y2=1. Обозначая элементы платежных матриц 1-го и 2-го игроков aij и bij соответственно, получим Таблицу3 и Таблицу 4 для расчета функций выигрыша.

Таблица3 Таблица 4
y1 y2
x1 a11 a 12
x2 a 21 a 22
y1 y2
x1 b11 b 12
x2 b 21 b 22

Функция выигрыша 1-го игрока будет равна
Η1(x,y)= x1(a11 y1+ a 12 y2)+ x2(a 21 y1+ a 22 y2),
подставляя x2=1- x1 и y2=1- y1, получим
Η1(x,y)= x1(y1(a11+ a 22- a 12-a 21)+ a 12-a 22)+ y1(a 21- a 22)+ a 22.
Обозначим x*={x1*, x2*} и y *={ y 1*, y 2*} равновесные по Нэшу стратегии игроков и найдем функцию выигрыша 1-го игрока, при условии, что 2-й игрок применит равновесную по Нэшу стратегию y*, а 1-й игрок применит произвольную смешанную стратегию x
Η1(x,y*)= x1(y1*(a11+ a 22- a 12-a 21)+ a 12-a 22)+ y1*(a 21- a 22)+ a 22. (2.6)
Если 2-й игрок применит равновесную по Нэшу стратегию y*, и 1-й игрок применит равновесную по Нэшу стратегию x*, то функция выигрыша 1-го игрока будет равна
Η1(x*,y*)= x1*(y1*(a11+ a 22- a 12-a 21)+ a 12-a 22)+ y1*(a 21- a 22)+ a 22. (2.7)
Согласно определению равновесия по Нэшу для всех смешанных стратегий x должно выполняться неравенство
Η1(x*,y*)≥ Η1(x,y*). (2.8)
Подставляя в неравенство Η1(x*,y*)- Η1(x,y*)≥0 функции из уравнений (4) и (5), получим неравенство
(x1*- x1)( y1*(a11+ a 22- a 12-a 21)+ a 12-a 22) ≥0, (2.9)
которое должно выполняться для всех значений x1 из отрезка [0;1].
Интерес представляет случай, когда равновесная по Нэшу стратегия x* не совпадает ни с одной чистой стратегией, то есть, когда x1* удовлетворяет строгому неравенству 0< x1*<1. В этом случае неравенство (2.9) будет верно для всех x1 из отрезка [0;1] тогда и только тогда, когда
y1*(a11+ a 22- a 12-a 21)+ a 12-a 22=0. (2.10)
Уравнение (2.10) дает значение y1*, при котором существует смешанная стратегия x*, не совпадающая с чистыми стратегиями 1-го игрока.
Аналогично, для всех смешанных стратегий y 2-го игрока должно выполняться неравенство
Η2(x*,y*)≥ Η2(x*,y) (2.11)
Определяя функции Η2(x*,y) и Η2(x*,y*) из таблицы 2, получим условие, при котором 2-й игрок имеет равновесную смешанную стратегию y*. не совпадающую с его чистыми стратегиями
x 1*( b 11+ b 22- b 12- b 21)+ b 21- b 22=0. (2.12)
Если уравнения (2.10) или (2.12) не имеют решений на отрезке [0;1], то в игре существуют только равновесия в чистых стратегиях, существование которых непосредственно следует из неравенств (2.9) и аналогичного неравенства для 2-го игрока.
Пример. Отыскать равновесие Нэша в чистых, либо смешанных стратегиях в игре «орёл-решка».
Таблица 5
первый
игрок
орёл решка
второй игрок орёл 1; -1 -1; 1
решка -1; 1 1; -1








Решение. Запишем матрицу игры:
Таблица 6

Очевидно, что равновесия по Нэшу в чистых стратегиях не существует. Будем искать решение в смешанных стратегиях x={x1, x2} и y={y1, y2} соответственно, где 0≤xi≤1, 0≤yj≤1, x1+x2=1, y1+y2=1. Найдем функцию выигрыша 1-го игрока
Η1(x,y)= x1y1- x1y2- x2y1+ x2y2= 4x1y1-2 x1-2y1+1= x1(4y1-2) -2y1+1.
Для равновесных по Нэшу стратегий x*={x1*, x2*} и y*={ y 1*, y 2*} найдем значение функции выигрыша будет равно
Η1(x*,y*)= x1*(4y1*-2) -2y1*+1
Если 2-й игрок применит равновесную по Нэшу стратегию y*, а 1-й игрок произвольную смешанную стратегию x, то функция выигрыша 1-го игрока составит значение
Η1(x,y*)= x1 (4y1*-2) -2y1*+1.
Из условия равновесия Η1(x*,y*)≥ Η1(x,y*) следует неравенство
(x1*- x1) (4y1*-2) ≥0
для всех x1 из отрезка [0;1]. Поскольку в игре нет равновесия в чистых стратегиях, то x1*≠0 и x1*≠1, то множитель (x1*- x1) может быть и положительным и отрицательным в зависимости от x1. Следовательно, последнее неравенство выполняется лишь при условии, что второй множитель равен нулю, то есть 4y1*-2=0. Откуда находим y 1*=0,5 и y 2*=0,5.
Аналогично находим равновесную по Нэшу стратегию 1-го игрока x1*= x2*=0,5. Значения игры для 1-го и 2-го игроков равны Η1(x*,y*)= Η2(x*,y*)=0,5.
Пример. «Семейный спор». Муж и жена собираются провести вместе выходной день. Муж предпочитает пойти на футбол, а жена на балет. Выигрыши мужа и жены в зависимости от принятых стратегий приведены в таблице:
Таблица 7

жена
Футбол балет
муж футбол 2; 1 0,5; 0,5
балет 0; 0 1; 2


Решение. Выпишем общую матрицу игры.

В этой игре существует два равновесия Нэша в чистых стратегиях. Кроме того, можно показать, что существует равновесие Нэша и в смешанных стратегиях. Для этого найдем платежную функцию 1-го игрока (мужа) для смешанных стратегий x={x1, x2} и y={y1, y2}.
Η1(x,y)=2x1y1+0,5 x1y2+x2y2=1,5 x1y1-0,5 x1+ y1-1= x1(2,5 y1-0,5) +1- y1.
Соответственно получаем
Η1(x*,y*)- Η1(x,y*)=(x1*- x1) (2,5y1*-0,5).
Неравенство Η1(x*,y*)≥ Η1(x,y*) будет верно для всех x1 из отрезка [0;1] и 0< x1*<1, если 2,5y1*-0,5=0, откуда y 1*=1/5 и y 2*=4/5.
Аналогично, для 2-го игрока (жены) получаем платежную функцию
Η2(x,y)= x1y1+0,5 x1y2+2x2y2=2,5x1y1-2y1-1,5x1+2.
Тогда Η2(x*,y*)- Η2(x*,y)=( y1*- y1) (2,5 x 1*-2).
Неравенство Η2(x*,y*)≥Η2(x*,y) будет верно для равновесной смешанной стратегии y*={y1*,y2*} и произвольной стратегии y={y1, y2} при условии, что 2,5x1*-2=0, откуда находим x1*=4/5, x2*=1/5 (муж выбирает футбол с вероятностью 4/5 и балет с вероятностью 1/5).
Аналогично находим y 1*=1/5, y 2*=4/5. Функции выигрыш игроков в смешанном равновесии будут равны Η1(x*,y*)= Η2(x*,y*)=4/5.