Пусть задана матричная антагонистическая игра. Требуется найти решение игры в смешанных стратегиях, т.е. требуется найти значение игры v, оптимальную стратегию первого игрока оптимальную стратегию второго игрока .
Решение. Запишем матрицу игры

смеш. стр.


второго игрока
смеш. стр.
первого игрока



Из теоремы об активных стратегиях (теорема 5) следует, в частности, что применение одним из игроков своей оптимальной стратегии против любой чистой стратегии противника даёт результат не хуже, чем значение игры V. Результат для первого игрока должен быть , а результат для второго . Тогда первый игрок решает задачу нахождения решения , удовлетворяющего условиям:

(1.28)

Второй игрок решает задачу нахождения решения , удовлетворяющего условиям:
(1.29)

Задачи первого и второго игроков вместе образуют двойственную задачу линейного программирования. Такие задачи решаются с помощью двойственного симплекс-метода. В частности, можно доказать, что сформулированная выше двойственная задача линейного программирования имеет решение для любых платёжных матриц.
Из этого следует, что любая матрица антагонистической игры имеет решение в смешанных стратегиях. Для частного случая, когда матрица игры имеет размеры , смешанные стратегии можно найти графическим методом. Действительно, пусть матричная игра задана Таблицей 6.

Таблица 6
смеш. стр.
второго игрока
смеш. стр.
первого игрока



Сформулируем задачу для первого и второго игроков
(1.30) (1.31)
Решим задачу для первого игрока. Обозначим тогда


Решим полученную задачу линейного программирования графически в осях v и X (Рис.2):
Рисунок 2

Свойства игры в смешанных стратегиях.
1. Решение игры не изменится при вычёркивании доминируемых стратегий.
2. Решение игры не изменится при добавлении доминируемых стратегий.
3. Решение игры не изменится при перестановке местами строк (столбцов) платёжной матрицы. Т.е. игроки могут нумеровать свои стратегии в любом порядке. Смысл игры и её решение от этого не изменится.