1.Статика. Основные понятия. Аксиомы. Статика – раздел термеха, в кот рассматриваются методы преобразования или условия равновесия сил, действующих на абсолютно твердое тело. Абсолютно твердое тело – мат. тело, в кот рас-ние между 2мя любыми точками всегда остается неизменным (отсутст. деформация). Сила – вект. физ. величина, кот является мерой мех. действия одного мат. тела на другое. Сила, эквивалентная данной системе сил, приложенных к телу наз-ся равнодействующей силой. Силы, действ. на данное тело со стороны др. тел – внешние, силы взд между частицами одного и того же тела наз-ся внутренними силами. Тела, на перем. кот не наложено никаких ограничений наз-ся свободными, наоборот – несвободными. Тела, ограничивающие свободу перемещения данного тела наз-ся связями. Сила, с кот связь действ на тело, препятствующее его перемещ в том или ином направлении – реакция связи. Аксиомы: 1) Если силы, действ на тело находятся в равновесии, то тело нах-ся в состоянии покоя или дв-ся равномерно прямолийнейно. 2) Абсолютно тв тело нах-ся в равновесии под действием 2х сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и направлены по одной прямой в против. стороны. 3) Мех. состояние тела не изменится, если к системе сил, действ. на него добавить или изъять из нее систему сил эквивалентную 0. Сл-вие: не изменяя действия данной силы на тело точку приложения силы можно переносить по ее линии действия, т.е. сила предст собой скользящий вектор. 4) Равнод. 2х сил, прилож. в одной точке, прилож. в этой же точке, изобр. диагональю парал., построенного на данных силах как на сторонах. 5) Закон равенства действия или противодействия: Силы, с кот. действ. друг на друга 2 тела всегда равны по модулю и направ. по одной прямой в против. стороны. 6)Принцип отвердевания: Равновесие деформируемого тела не нарушается после его отвердевания.
2. Связи. Реакции связей.
3.Система сходящихся сил (СХС). Способы сложения… Система сил, линии действ. кот пересекаются в одной точке, наз-ся СХС. а) Геометр. способы сложения сил: 1) по правилу парал. 2) по правилу треуг. 3) по правилу силового многоуг. ,Усл равнов СХС: если равнод. схс = 0, то система сил нах-ся в равновесии. Граф. для рав-сия СХС необх. и достат. чтобы равн. = 0, а силовой многоуг, построенный на данных силах, был замкнутым. Аналит. способ сложения сил основан на методе проекции сил. Теорема о рав. 3х непар. сил: Если свободное тв тело нах-ся в рав-сии под дейст. 3х непар. сил, лежащих в одной пл, то линии действ. этих сил пересек. в одной точке.
4.Проекция силы на ось, пл. Проекция равнод. силы на ось. Момент… Проекция силы на ось – скал. физ. величина, равная длине отрезка, заключ. между плоскостями, перпенд. оси и проведенными через начало и конец силы. Проекция силы на плоскость: проекция силы F на пл. OXY - вектор FXY, заключ. между проекциями начала и конца силы F на эту пл., вект., т.к. она характер. направлением в плоскости. Для нахожд. проекции силы на ось нужно сначала найти ее проекцию на пл., в кот эта ось лежит, а затем найденную проек. на пл. спроецир. на данную ось. Проек. равн. силы на ось равна алг. сумме проекции составл. силы на эти же оси координат. Момент силы отн. точки: точку, отн. кот берется момент наз-ся центром момента, а мом. силы отн. этой точки наз-ся мом. отн. центра. Мом силы вводится для того, чтобы охаракт. вращ. эффект силы. Момент силы отн центра будет пол. если сила вращает тело против час стрелки и отриц если по час стрелке. Св-ва: 1. мом силы = 0, если точка распол. на линии действ силы 2.
Мом силы отн оси: Для нахожд необходимо 1 провести пл, пер. оси 2 спроец. силу на эту пл 3 из точки пересеч. оси с пл провести перпенд. к направл. проекции (плечо) 4 записать алг величину момента. Св-ва: 1 мом силы отн оси = 0, если сила распол парал оси или пересекает ось. 2 мом силы отн оси = удвоен площ треуг, образ силой и отрезками, соед начало и конец проекц силы с точкой 0. Вектор мом силы расп перпенд пл, образ вект r и F и напрвлен так, чтобы смотря навстречу ему видеть вращ. тела под действ. силы, происх против хода час стрелки.
5.Теорема Вариньона о мом равнод силы. Мом силы отн координатных осей. Теор: Мом равн силы отн точки или оси = сумме моментов составл сил относ этой же точки или оси. Если СХС нах-ся равнов, то сумма мом-ов всех составл сил отн любой точки или оси = 0. Мом-ты силы отн осей координат:
6.Система пар сил. Св-ва. Т об эквив. пар сил на пл…. Пара сил – система из 2х равных по модулю противоп направ. парал. сил. Мерой вращ. действия пары сил явл мом пары. Вектор мом пары сил располаг перпенд пл действия пары и направлен так, чтобы смотря навстр. ему видеть вра-ние пары, происх. против час стрелки. (Явл свободным, его можно переносить парал. в любую точку простран.) Св-ва: а)Т1: Мом пары сил = алг сумме мом-ов сил, образ пару, отн любой точки и не зависит от полож. этой точки. б) Т2 об эквивал пар сил на пл: Две пары сил, имеющ. векторно равные мом-ты экв друг другу. Сл-вия: 1 Не изменяя действ пары сил на тело можно переносить пару в пл ее действия. 2 Не изменяя действ пары сил на тело можно как угодно изменять силы и плечо пары при усл, что мом и нап-ние вращ останутся неизмен. 3 2 пары сил всегда можно привести к одному плечу. в) Т3 о сложении пары сил на пл: Система пар сил, леж. в одной пл экв одной паре, леж в этой же пл и имеющ мом = алг сумме мом-ов слагаемых пар. г) Т4 о переносе паре сил в парал пл: Пару сил, не изм. ее действ. на тело, можно перенос. в люб пл, парал пл действия пары. д) Т5 о слож пар сил в пересек пл: Две пары сил, распол. в пересек. пл экв одной паре, мом кот = геом сумме мом-ов слагаемых пар. Условия уравновешенности системы пар сил: 1)в вект форме: вект сумма мом-ов всех пар сил = 0. 2) в геом. форме: многоуг. мом-ов пар должен быть замкнутым. 3) в анал. форме: сумма проекц мом-ов пар сил на каждую из корд осей = 0.
7. Произвольная система сил (ПСС). Приведение силы к точке… ПСС – система, сост. из любого кол-ва сил, как угодно располож. в пр-ве. Приведение силы к точке – необходимо прилож в эту точку силу, геом. равную данной силе и присоед. пару сил, мом кот равен мом данной силы отн центра приведения. Прив-ние ПСС к точке (метод Пуансо): Равнод системы привед сил = геом сумме слагаем сил, но не заменяет действ данной или исходной системы сил и поэтому по отнош. к исходной СС не явл равнод, а наз-ся главным вектором. Сложив геом присоединенные пары сил получим равнод пару, мом кот равен главному мом. Главным мом СС отн какой-либо точки наз-ют вект сумму мом-ов всех сил системы отн этой же точки. Основная Т статики (Пуансо): Всякую произ. СС можно замен. одной силой, равной гл мом и прилож в центре приведения и одной парой сил, мом кот равен главному мом отн центра приведения.
8. Частные случаи прив-ния ПСС. Ур-ния равнов… Частные случаи прив-ния: 1) СС уравновешена, 2) Системв пар сил уравн., СС приводится к равнод, прилож к центру прив-ния, 3) СС приводится к одной паре сил. 4)… 5)…
Ур-ния рав-сия для произв пл СС и произв прлстр СС
9. Система парал сил. Коорд цетров тяж… Центром парал сил наз-ся точка, через кот равнод системы парал сил независ от их полож в пр-ве. Коор-ты центра парал сил (Т Вариньона)…. Центр тяж тв тела: 1) центр тяж V-ой фигуры. 2) центр тяж однор плоской фигуры. 3) одн тонкого стержня. Методы опред центра тяж: а) исп.наличия сим: если тело имеет пл сим, то ц. тяж. тела нах-ся в этой пл. если тело имеет ось сим., то ц. тяж нах-ся на этой оси. б) метод разбиения на части: Если тело можно разбить на конеч. чило частей, для каждой из кот полож ц. тяж известно, то коор-ты ц. тяж всего теламожно вычис по формулам для коор. тяж объем., пл или линии. в) метод отр. весов: при исп метода разб на части, можно представ тело не только как сумму, но и как разность элемен частей, в этом случае вес эл тел нужон брать со знаком -.
10. Влияние трения на равновесие Законы тр скольжения: 1. при взд тел возникает сила тр, величина мод кот может прин значения от 0 до нек макс знач 2. величина мод пред силы тр в шир диапозоне не зависит от площ зоны контакта взд тел 3. величина мод пред силы тр равна F=f*N, где f-коэ тр скольж, N-норм. реакция. Угол между норм реакцией и полной рекцией наз-ют углом трения. Если тр при движении в любую сторону одинаково, то совокуп реакций образ коническую по-сть – конус трения.
11. Кинематика мат точки. Способы задания дв точки… Кинематика – раздел термеха, в кот изуч дв-ние мат тел без учета их масс и действ на них сил. Основной задачей явл изуч способов дв-ния тел, с помощ. кот можно в любой момент времени матем опред полож тела и его точек по отн к данной СО. В кинемат вводятся кин. хар-ки дв тел, ск и уск тел. Ск точки – вект физ вел, кот показ нап-ние дв точки, а модуль – быстроту из-ния полож точки. Ускорение – произв. по вр. от ск. Вектор полного уск напрвл всегда в сторону вогнут траектории. 1) естеств сп задания дв-ния (когда известна траект точки): 1 траект дв-ния 2 т.О начало отсчета 3 пол или отр нап-ние дв 4 дуговая координата 2) Коорд способ задания дв: при дв точки ее коор-ты меняются, т.е. они явл ф-циями времени. Если требуется опред ур-ние траект., то время из ур-ний дв-ния следйет исключить. 3) векторный – полож точки задается радиус-вектором Частные случаи дв-ния точки: а) равномерное, б) равнопеременное
12. Определение ск и уск точки при вектор, коорд и естеств… СКОРОСТЬ:
а) Векторный способ. Вектор истинной ск направл по касат
б) естеств способ
в) корд способ
УСКОРЕНИЕ:
а) вектор способ
б) корд способ
в) естеств способ
13. Кинематика тела. Поступ дв тв тела. Вращ дв тв тела… Поступ наз-ют такое дв тв тела, при кот прямая проход через 2 любые его точки перемещ парал своему первонач полож. Т: все точки тв тела, движущегося поступ описывают тождеств траект. и в каждый момент вр имеют вект ск-ти и век уск-ния. Вращ дв тв тела – дв-ние тела, при кот все точки некотор прям, неизменно связан с телом, все время остаются неподвижными. Прямая – ось вращения, перемещ тела – повороты.Точки тела, не леж на оси вращ дв-ся в пл-х, перпенд оси вращ по окр-тям, центры кот нах-ся на оси. Полож тела в любой момент вр будет опред. углом фи между указан пл-ями. Вращ дв-ние тела хар-ся 3 факторами: 1) полож оси вращ 2) направл вращ 3) угл ск. Вектор угл ск располож на оси вращ и направл так, чтобы смотря навстречу ему, видеть вращ тела, происх против час стрелки. Вектор угловой ск – 1ая произв по вр от угловой ск. Направлен по оси вращ. Модуль угл ск показывает быстроту вращ тела, а модуль угл уск быстроту изм мод угл ск.
14. Определ ск и уск точки вращ тела. Частные случаи…
Вращ тела наз-ся равномерным если оно вращ с постоян угл ск. Вращ тела наз-ся равноперем если угл уск его явл пост велич. Формула Эйлера: позвол определ ск любой точки вращ тела.
Преобраз вращ дв-ния: В механ. обычно происх преобраз вращ дв-ния во вращ за счет зубчатых, ременных или цепных передач, а также преобр вращ дв-ния в пост и наоборот.
15. Плоское дв-ние тв тела. Способ задания. Ты… Плоским наз-ся такое дв-ние тв тела, при кот все точки его перемещ или в одной пл или в парал пл-тях. способы задан пл движения: описание пл дв сводится к опис дв одного сечения тела отн неподв пл, такое сеч наз-ют пл фигурой.
Т о слож ск-тей пл фигуры: Ск точки пл фигуры равна вект сумме ск полюса и ск, кот имеет эта точка в относит движ фигуры вокруг полюса. Т о слож уск: Уск точки плоск фигуры равно вектор сумме уск полюса и уск, кот имеет эта точка в относит дв фигуры вокруг полюса (вращении)
16. МЦС плоской фигуры. Определения полож МЦС… МЦС – это точка пл фигуры, ск кот в данный момент вр = 0. Т Шаля: всякое перемещ пл фигуры из одного полож в другое можно осуществ при помощи одного вращ дв вокруг МЦС. Сл-вия: а) ск точек пл фигуры направл перпенд к отрезкам прямых, соедин точки с МЦС б) ск точек пл фигуры пропроц рас-ниям от этих точек до МЦС в) угл ск пл фигуры = отн ск любой ее точки к рас-нию до МЦС. Полож МЦС на движ пл фигуре не явл неизменным. МЦС может нах-ся вне тела. Частные случаи опред МЦС: 1 если направл VA и VB известны и эти ск-ти не парал друг другу, то для нах-ния МЦС необходимо из точек А и В провести перпенд к векторам ск до их пересечения. 2 если VA и VB парал но не равны, то для нах-ния МЦС испол условие пропорциональности мод-ей ск. Рас-ние от этих точек до МЦС. 3 VA и VB парал равны но не перпенд. в этом случае звено АВ сов-ет пост-ные дв. ск всех точек векторно равны, МЦС нах-ся в бесконечности и угл ск АВ = 0. 4 при качении колеса по прямол рельсу (по неподв пов-сти вогнутой или выгнутой)) полож МЦС опред из условия отсутств взаимного проскальзываания, т.е. рав-ва ск-тей соприкас точек. МЦС нах-ся в точке касания с пов-тью.
17. Сложное дв-ние точки. Т о слож ск и уск Слож дв мат точки – это дв, когда точка одновремен учавств в 2х или более дв-ях. При описан сл дв-ния точки одну из СО считают неподвижной, а др – подвиж. Различают 3 вида движения: а) абсол. б) переносное в) относит. Дв совершаемое т,М по отн к подв СО наз-ся относ, дв, совер подв СО по отн к неподв – переносным, дв точек по отн к неподв СО – абсол. Основн задача кинем сл дв-ния точки заключ в том, чтобы по извест кинем хар-кам относ и перенос дв-ния наход кинем хар-ки абс дв-ния. Т о слож ск: Абс ск точки = вект сумме отн и перенос ск-тей. В отн и абс дв0-нии точка соверш различ траект и соответств ск-ти направл по касс к этим траект. Т о слож ус-ний (Т Кориолиса (К)):
Ус К = удвоен вектор произв угл ск переносн дв на отн ск точки. М.б. = 0, если а) отн ск точки = 0 б) угл ск переносн дв-ния = 0 в) син угла между отн ск и угл ск переносног дв = 0. Напр-ние К уск опред по правилу Жуковского: 1) нужно спроец вектор отн ск на пл, перпенд оси вращ 2) повернуть эту проекцию на 90 град по осмии вращ.
18. Сферич дв тв тела. Углы Эйлера
19. Динамика мат точки. Аксиомы динамики…. Динамика – раздел термеха, в кот изуч дв мех систем под действ сил. Аксиомы: 1) закон инерции: изолир мат тчока нах-мя в состоянии покоя или дв-ся равномер и прямол. Св-ва точек или тела сопрот из-нию ск на-ся инерцией, а сила, с кот происх это сопротивл. – сила инерции. СК для кот справедл 1ая аксиома наз-ся инерц. 2) основной закон динамики: сила, действ на своб мат точку сообщает ей уск,кот в ИСО пропорц этой силе. 3) закон рав-ва действ и противод: сила, с кот действ друг на друга 2 мат точки всегда равны по мод и направл в противопол стороны по прям., соед эти точки. Две основные задачи дин точки : а) прямая (первая): заключ в том, что по заданному дв-нию точки нах-ся сила, действ на точку. Решается при помощи диф ур-ний дв-ния в корд и естественной формах и при помощи принципа Даламбера б) обратная (вторая, основная): заключ в том, что по задан силам, массе и начал усл-ям нах-ся дв-ние точки. Решение – методами интегрир диф ур-ний дв-ния.
20. Принцип Даламбера для мат точки. Диф ур-ния дв точки… Диф ур-ния дв мат точки:
1) в вект форме:
2) в корд форме:
3) в естеств форме:
Принцип Даламбера для мат точки: Если в люб мом дв мат точки кроме факт действ на нее актив силы и реакции связей добавить силу инерции, то получ система будет экв 0. Принцип Д позвол при реш задач динамики использ ур-ние равновесия системы
Способы интегр диф ур-ний дв-ния
21. Ты динам. точки. Имп. пост и переем силы… Ты:
1) об изменении кол-ва дв: из-ние кол-ва дв мат точки за какой-либо промежуток вр = им-су силы, действ на точку за этот же промеж вр-ни.
Им-с пост силы – вект вел, равная пр-нию вект силы на вр действ силы.
Им-с перем силы = сумме эл им-сов.
Кол-во дв мат точки – вект величина, равная пр-нию массы точки на ее ск-ть. Кол-вом дв мех сист. наз-ся гл вектор кол-ва дв всех точек системы.
2) об из-нии кин эн для точки
22. Динам. системы. Внешн и внутрен силы системы… Матер. мех системой наз-ся мн-во взаимосв мат точек. Действ на мех систему акт силы и реакции связей делятся на внеш и внутр. Внешними наз-ся силы, действ на точки системы со стороны точек или тел, не вход в состав данной системы. Внутрен наз-ют силы, с кот точки или тела системы действ друг на друга. Св-ва внутр сил: 1) главный вектор всех внутр сил системы = 0 2) главный мом всех внутр сил системы отн любого центра или оси = 0. Т о дв-нии центра масс: произвед массы системы на уск центра масс равно главному вектору внеш сил, действ. на точки системы. (др. формулировка: центр масс мех системы дв-ся как мат точка, в кот приложены все внеш силы, действ на системы.) Массой мех системы наз-ся сумма масс ее точек. Центром масс мех системы наз-ся геомет точка С, радиус-вектор кот опред по формуле:
Проецируя на оси корд получим:
23. Т об изменении кол-ва дв системы. Т мом-ов… Т об изменении кол-ва дв системы: изменение кол-ва дв мех сист за некоторый промеж вр = сумме им-сов, действ на сист внеш сил за этотже промеж вр. Сл-вия: 1) если гл вектор вн сил мех сист все вр = 0, то вектор кол-ва дв сист постоянен. 2)если сумма проекций всех вн сил мех сист на какую-либо ось все вр = 0, то проекц кол-ва дв на этуось постоянна.
Т мом-ов: Первая пр-ная по вр от кин мом-та мех сис отн некотрого центра или оси = гл мом-ту анеш сил отн этого же центра или оси. Сл-вия: 1) если гл мом внеш сил мех сист отн какого-либо центра все вр = 0, то кин мом сист отн этого центра остается постоян по вел и нап-нию. 2)Если гл мом внеш сил отн какой-либо оси все вр = 0, то кин мом системы отн оси постоянен, это возможно когда в … или парал оси или пересек ось. Диф ур-ния
24. Т об из-нии кин эн системы. Т Кёнига… Т об из-нии кин эн системы: Мех. работа: а) постоян силы - б) переменной
Фор-лы эл работы: а) естеств способ зад дв
б) вектор способ
в) работа силы при вращ дв-нии тела
г) работа силы тяж
д) силы тр
е) норм. реакции
ж) упругости
Т Кёнига: Кин энергия мат системы в абс дв-ни склад. из кин эн центра масс, если в нем сосредоточена масса системы, и кин энергией системы в относит дв-нии вокруг центра масс.
25. Осевые мом-ты инерции. Ты. Радиус инерции… Момент инерции мат точки отн оси – ( осевой мом инерции) величина, равная пр-нию массы точки на квадрат ее рас-ния до этой оси. Для мех сист мом инерции наз-ся скал вел, равная сумме пр-ний масс отделточек на квадраты их рас-ний до оси. Радиус инерции это рас-ние до такой точки, привед масса кот равна массе всего тела. Прив. масса это масса такой точки, мом инерц кот отн осиравен мом инерц тела отн этой же оси. Ты: 1) мом инерц тела отн любой оси = сумме мом-ов инерц частей этого тела отн этой же оси. 2) Штейнера - мом инерц тела отн любой оси равен сумме мом инерции тела отн проход через центр масс тела, парал данной оси и произв массы тела на квадрат расстояния до этой оси. 3) Мом инерции пл фигуры отн оси, перпенд плоск этой фигуры = сумме мом-ов инерции отн 2х взаимно перпенд осей, леж в плоскости фигуры.
1) стержень
2) кольцо
3) цилиндр
26. Принцип Даламбера для мат системы…
В любой мом дв мат системы гл вектор вн сил уравновеш гл вектором сил инерции и главный мом вн сил уравновеш гл мом сил инерции.
Главный вектор сил инерции равен по мод пр-нию массы тела на уск центра масс и направл в сторону обратную уск центра масс.
Для мат системы главный мом сил инерции = взятой со знаком – пр-ной по вр от кин мом инерции
27. Анал мех. Кл-ция связей. Позволяет описать поведение системы мин кол-вом ур-ний, не вводя при этом неизвестные реакции связей. Кл-ция: Связи - ограничения, налож на положение и ск-ти точек мех системы, кот осуществл некоторыми матер и выполняются незав от того какие на систему действуют заданные силы. Ур-ние, кот выраж данное ограничение – ур-ние связи. Связи, не измен со временем стационарные, а измен со временем – не стац. Связи, налагающ ограничения на полож точек системы – геометрическими, а налагающ огран-ия на ск точек системы – кинемат или дифференц. Если диф связь можно предст как геометр то такая связь наз-ся интегрируемой, наоборот – неинтегр. Геометр и интегрир диф связи наз-ют связями голономными, а не интегр диф – неголономными. Различают связи удерживающие, налагаемые ими огран-ия сохр при любом положении системы (двухсторонние) и неудерживающие (одностор) – не облад таким св-вом. Идеальные связи – это связи, работа реакции кот на любом возмож перемещ = 0, наоборот – неидеальные.
28. Возм перемещ. Общее ур-ние динамики. Возмож перемещ мех системы – это любая совокупность элементар перемещ точек этой системы из … в данный момент вр положения, кот допуск всеми наложенными на систему связями. В общем случае мех система может иметь мн-во различных возмож перемещений. Число независимых возм перемещ мех системы наз-ся числом степеней свободы этой сист. Принцип возм перемещ (ПВП): Из статики известно, что для равновес мех системы необход и достаточно, чтобы сист сил, действ на каждую точку системы, была уравновеш и чтобы в начал момент вр мех система нах-сь в покое. Возмож работа это элемент работа, кот действ-ая на мат точку сила могла бы совершить на перемещ, совпадающем с возможным перемещ этой точки. Связи наз-ся идеальными, для кот сумма элемент работ ихреакций на любом возмож перемещ системы = 0. Для рав-сия мех системы с идеал связями необх и достаточно, чтобы сумма эл работ всех действ на нее активных сил при любом возмож перемещ системы была = 0.Общее ур-ние динамики (ОУД) – объед 2 принципа: принцип возм перемещ и принцип Даламб. Если ко всем точкам системы кроме действ на них акт сил и реакций связи добавить соответств силы инерции, то согласно принципу Даламб.полученная система сил будет нах-ся в равновесии. Примененив к этим силам принцип возм перемещ получим:
29. Ур-ние Лагранжа 2 рода. Послед реш. задач. Обобщенные координаты – независимые друг от друга величины, заданием кот опред положение всех точек данной системы. Число ок = числу ст свободы. Пр-ные от обоб координат по вр – обобщ ск-ти системы. Обобщ сила:
Чтобы найти: 1) определить число ст свободы 2) выбрать объедин коор-ту 3) задать приращ объедин коон-те и вычисл сумму элем работ всех сил, действ на систему на этом перемещении 4) опред обобщ силу. Ур-ние Лагранжа 2 рода:
Алгоритм решения задач: 1) опред число ст свободы системы = кол-ву ур-ний Лагранжа и числу независ возмож перемещ. 2) Запис ур-ние Лагранжа через обобщ к-ту и обобщ ск-ти. 3) найти выр кинет энерг системы в абс дв-нии через обобщ ск-ти и обобщ коор-ты. 4) взять час пр-ную от кин энергиипо обобщ ск-ти. 5) найти полную пр-ную по вр от частной пр-ной кин энергии по обобщ ск-ти 6) взять час пр-ную от кин энергии по обобщ к-те.7) найти обобщ силу 8) приравнять левую и правую части и приравнять искомые величины.
2. Связи. Реакции связей.
3.Система сходящихся сил (СХС). Способы сложения… Система сил, линии действ. кот пересекаются в одной точке, наз-ся СХС. а) Геометр. способы сложения сил: 1) по правилу парал. 2) по правилу треуг. 3) по правилу силового многоуг. ,Усл равнов СХС: если равнод. схс = 0, то система сил нах-ся в равновесии. Граф. для рав-сия СХС необх. и достат. чтобы равн. = 0, а силовой многоуг, построенный на данных силах, был замкнутым. Аналит. способ сложения сил основан на методе проекции сил. Теорема о рав. 3х непар. сил: Если свободное тв тело нах-ся в рав-сии под дейст. 3х непар. сил, лежащих в одной пл, то линии действ. этих сил пересек. в одной точке.
4.Проекция силы на ось, пл. Проекция равнод. силы на ось. Момент… Проекция силы на ось – скал. физ. величина, равная длине отрезка, заключ. между плоскостями, перпенд. оси и проведенными через начало и конец силы. Проекция силы на плоскость: проекция силы F на пл. OXY - вектор FXY, заключ. между проекциями начала и конца силы F на эту пл., вект., т.к. она характер. направлением в плоскости. Для нахожд. проекции силы на ось нужно сначала найти ее проекцию на пл., в кот эта ось лежит, а затем найденную проек. на пл. спроецир. на данную ось. Проек. равн. силы на ось равна алг. сумме проекции составл. силы на эти же оси координат. Момент силы отн. точки: точку, отн. кот берется момент наз-ся центром момента, а мом. силы отн. этой точки наз-ся мом. отн. центра. Мом силы вводится для того, чтобы охаракт. вращ. эффект силы. Момент силы отн центра будет пол. если сила вращает тело против час стрелки и отриц если по час стрелке. Св-ва: 1. мом силы = 0, если точка распол. на линии действ силы 2.
Мом силы отн оси: Для нахожд необходимо 1 провести пл, пер. оси 2 спроец. силу на эту пл 3 из точки пересеч. оси с пл провести перпенд. к направл. проекции (плечо) 4 записать алг величину момента. Св-ва: 1 мом силы отн оси = 0, если сила распол парал оси или пересекает ось. 2 мом силы отн оси = удвоен площ треуг, образ силой и отрезками, соед начало и конец проекц силы с точкой 0. Вектор мом силы расп перпенд пл, образ вект r и F и напрвлен так, чтобы смотря навстречу ему видеть вращ. тела под действ. силы, происх против хода час стрелки.
5.Теорема Вариньона о мом равнод силы. Мом силы отн координатных осей. Теор: Мом равн силы отн точки или оси = сумме моментов составл сил относ этой же точки или оси. Если СХС нах-ся равнов, то сумма мом-ов всех составл сил отн любой точки или оси = 0. Мом-ты силы отн осей координат:
6.Система пар сил. Св-ва. Т об эквив. пар сил на пл…. Пара сил – система из 2х равных по модулю противоп направ. парал. сил. Мерой вращ. действия пары сил явл мом пары. Вектор мом пары сил располаг перпенд пл действия пары и направлен так, чтобы смотря навстр. ему видеть вра-ние пары, происх. против час стрелки. (Явл свободным, его можно переносить парал. в любую точку простран.) Св-ва: а)Т1: Мом пары сил = алг сумме мом-ов сил, образ пару, отн любой точки и не зависит от полож. этой точки. б) Т2 об эквивал пар сил на пл: Две пары сил, имеющ. векторно равные мом-ты экв друг другу. Сл-вия: 1 Не изменяя действ пары сил на тело можно переносить пару в пл ее действия. 2 Не изменяя действ пары сил на тело можно как угодно изменять силы и плечо пары при усл, что мом и нап-ние вращ останутся неизмен. 3 2 пары сил всегда можно привести к одному плечу. в) Т3 о сложении пары сил на пл: Система пар сил, леж. в одной пл экв одной паре, леж в этой же пл и имеющ мом = алг сумме мом-ов слагаемых пар. г) Т4 о переносе паре сил в парал пл: Пару сил, не изм. ее действ. на тело, можно перенос. в люб пл, парал пл действия пары. д) Т5 о слож пар сил в пересек пл: Две пары сил, распол. в пересек. пл экв одной паре, мом кот = геом сумме мом-ов слагаемых пар. Условия уравновешенности системы пар сил: 1)в вект форме: вект сумма мом-ов всех пар сил = 0. 2) в геом. форме: многоуг. мом-ов пар должен быть замкнутым. 3) в анал. форме: сумма проекц мом-ов пар сил на каждую из корд осей = 0.
7. Произвольная система сил (ПСС). Приведение силы к точке… ПСС – система, сост. из любого кол-ва сил, как угодно располож. в пр-ве. Приведение силы к точке – необходимо прилож в эту точку силу, геом. равную данной силе и присоед. пару сил, мом кот равен мом данной силы отн центра приведения. Прив-ние ПСС к точке (метод Пуансо): Равнод системы привед сил = геом сумме слагаем сил, но не заменяет действ данной или исходной системы сил и поэтому по отнош. к исходной СС не явл равнод, а наз-ся главным вектором. Сложив геом присоединенные пары сил получим равнод пару, мом кот равен главному мом. Главным мом СС отн какой-либо точки наз-ют вект сумму мом-ов всех сил системы отн этой же точки. Основная Т статики (Пуансо): Всякую произ. СС можно замен. одной силой, равной гл мом и прилож в центре приведения и одной парой сил, мом кот равен главному мом отн центра приведения.
8. Частные случаи прив-ния ПСС. Ур-ния равнов… Частные случаи прив-ния: 1) СС уравновешена, 2) Системв пар сил уравн., СС приводится к равнод, прилож к центру прив-ния, 3) СС приводится к одной паре сил. 4)… 5)…
Ур-ния рав-сия для произв пл СС и произв прлстр СС
9. Система парал сил. Коорд цетров тяж… Центром парал сил наз-ся точка, через кот равнод системы парал сил независ от их полож в пр-ве. Коор-ты центра парал сил (Т Вариньона)…. Центр тяж тв тела: 1) центр тяж V-ой фигуры. 2) центр тяж однор плоской фигуры. 3) одн тонкого стержня. Методы опред центра тяж: а) исп.наличия сим: если тело имеет пл сим, то ц. тяж. тела нах-ся в этой пл. если тело имеет ось сим., то ц. тяж нах-ся на этой оси. б) метод разбиения на части: Если тело можно разбить на конеч. чило частей, для каждой из кот полож ц. тяж известно, то коор-ты ц. тяж всего теламожно вычис по формулам для коор. тяж объем., пл или линии. в) метод отр. весов: при исп метода разб на части, можно представ тело не только как сумму, но и как разность элемен частей, в этом случае вес эл тел нужон брать со знаком -.
10. Влияние трения на равновесие Законы тр скольжения: 1. при взд тел возникает сила тр, величина мод кот может прин значения от 0 до нек макс знач 2. величина мод пред силы тр в шир диапозоне не зависит от площ зоны контакта взд тел 3. величина мод пред силы тр равна F=f*N, где f-коэ тр скольж, N-норм. реакция. Угол между норм реакцией и полной рекцией наз-ют углом трения. Если тр при движении в любую сторону одинаково, то совокуп реакций образ коническую по-сть – конус трения.
11. Кинематика мат точки. Способы задания дв точки… Кинематика – раздел термеха, в кот изуч дв-ние мат тел без учета их масс и действ на них сил. Основной задачей явл изуч способов дв-ния тел, с помощ. кот можно в любой момент времени матем опред полож тела и его точек по отн к данной СО. В кинемат вводятся кин. хар-ки дв тел, ск и уск тел. Ск точки – вект физ вел, кот показ нап-ние дв точки, а модуль – быстроту из-ния полож точки. Ускорение – произв. по вр. от ск. Вектор полного уск напрвл всегда в сторону вогнут траектории. 1) естеств сп задания дв-ния (когда известна траект точки): 1 траект дв-ния 2 т.О начало отсчета 3 пол или отр нап-ние дв 4 дуговая координата 2) Коорд способ задания дв: при дв точки ее коор-ты меняются, т.е. они явл ф-циями времени. Если требуется опред ур-ние траект., то время из ур-ний дв-ния следйет исключить. 3) векторный – полож точки задается радиус-вектором Частные случаи дв-ния точки: а) равномерное, б) равнопеременное
12. Определение ск и уск точки при вектор, коорд и естеств… СКОРОСТЬ:
а) Векторный способ. Вектор истинной ск направл по касат
б) естеств способ
в) корд способ
УСКОРЕНИЕ:
а) вектор способ
б) корд способ
в) естеств способ
13. Кинематика тела. Поступ дв тв тела. Вращ дв тв тела… Поступ наз-ют такое дв тв тела, при кот прямая проход через 2 любые его точки перемещ парал своему первонач полож. Т: все точки тв тела, движущегося поступ описывают тождеств траект. и в каждый момент вр имеют вект ск-ти и век уск-ния. Вращ дв тв тела – дв-ние тела, при кот все точки некотор прям, неизменно связан с телом, все время остаются неподвижными. Прямая – ось вращения, перемещ тела – повороты.Точки тела, не леж на оси вращ дв-ся в пл-х, перпенд оси вращ по окр-тям, центры кот нах-ся на оси. Полож тела в любой момент вр будет опред. углом фи между указан пл-ями. Вращ дв-ние тела хар-ся 3 факторами: 1) полож оси вращ 2) направл вращ 3) угл ск. Вектор угл ск располож на оси вращ и направл так, чтобы смотря навстречу ему, видеть вращ тела, происх против час стрелки. Вектор угловой ск – 1ая произв по вр от угловой ск. Направлен по оси вращ. Модуль угл ск показывает быстроту вращ тела, а модуль угл уск быстроту изм мод угл ск.
14. Определ ск и уск точки вращ тела. Частные случаи…
Вращ тела наз-ся равномерным если оно вращ с постоян угл ск. Вращ тела наз-ся равноперем если угл уск его явл пост велич. Формула Эйлера: позвол определ ск любой точки вращ тела.
Преобраз вращ дв-ния: В механ. обычно происх преобраз вращ дв-ния во вращ за счет зубчатых, ременных или цепных передач, а также преобр вращ дв-ния в пост и наоборот.
15. Плоское дв-ние тв тела. Способ задания. Ты… Плоским наз-ся такое дв-ние тв тела, при кот все точки его перемещ или в одной пл или в парал пл-тях. способы задан пл движения: описание пл дв сводится к опис дв одного сечения тела отн неподв пл, такое сеч наз-ют пл фигурой.
Т о слож ск-тей пл фигуры: Ск точки пл фигуры равна вект сумме ск полюса и ск, кот имеет эта точка в относит движ фигуры вокруг полюса. Т о слож уск: Уск точки плоск фигуры равно вектор сумме уск полюса и уск, кот имеет эта точка в относит дв фигуры вокруг полюса (вращении)
16. МЦС плоской фигуры. Определения полож МЦС… МЦС – это точка пл фигуры, ск кот в данный момент вр = 0. Т Шаля: всякое перемещ пл фигуры из одного полож в другое можно осуществ при помощи одного вращ дв вокруг МЦС. Сл-вия: а) ск точек пл фигуры направл перпенд к отрезкам прямых, соедин точки с МЦС б) ск точек пл фигуры пропроц рас-ниям от этих точек до МЦС в) угл ск пл фигуры = отн ск любой ее точки к рас-нию до МЦС. Полож МЦС на движ пл фигуре не явл неизменным. МЦС может нах-ся вне тела. Частные случаи опред МЦС: 1 если направл VA и VB известны и эти ск-ти не парал друг другу, то для нах-ния МЦС необходимо из точек А и В провести перпенд к векторам ск до их пересечения. 2 если VA и VB парал но не равны, то для нах-ния МЦС испол условие пропорциональности мод-ей ск. Рас-ние от этих точек до МЦС. 3 VA и VB парал равны но не перпенд. в этом случае звено АВ сов-ет пост-ные дв. ск всех точек векторно равны, МЦС нах-ся в бесконечности и угл ск АВ = 0. 4 при качении колеса по прямол рельсу (по неподв пов-сти вогнутой или выгнутой)) полож МЦС опред из условия отсутств взаимного проскальзываания, т.е. рав-ва ск-тей соприкас точек. МЦС нах-ся в точке касания с пов-тью.
17. Сложное дв-ние точки. Т о слож ск и уск Слож дв мат точки – это дв, когда точка одновремен учавств в 2х или более дв-ях. При описан сл дв-ния точки одну из СО считают неподвижной, а др – подвиж. Различают 3 вида движения: а) абсол. б) переносное в) относит. Дв совершаемое т,М по отн к подв СО наз-ся относ, дв, совер подв СО по отн к неподв – переносным, дв точек по отн к неподв СО – абсол. Основн задача кинем сл дв-ния точки заключ в том, чтобы по извест кинем хар-кам относ и перенос дв-ния наход кинем хар-ки абс дв-ния. Т о слож ск: Абс ск точки = вект сумме отн и перенос ск-тей. В отн и абс дв0-нии точка соверш различ траект и соответств ск-ти направл по касс к этим траект. Т о слож ус-ний (Т Кориолиса (К)):
Ус К = удвоен вектор произв угл ск переносн дв на отн ск точки. М.б. = 0, если а) отн ск точки = 0 б) угл ск переносн дв-ния = 0 в) син угла между отн ск и угл ск переносног дв = 0. Напр-ние К уск опред по правилу Жуковского: 1) нужно спроец вектор отн ск на пл, перпенд оси вращ 2) повернуть эту проекцию на 90 град по осмии вращ.
18. Сферич дв тв тела. Углы Эйлера
19. Динамика мат точки. Аксиомы динамики…. Динамика – раздел термеха, в кот изуч дв мех систем под действ сил. Аксиомы: 1) закон инерции: изолир мат тчока нах-мя в состоянии покоя или дв-ся равномер и прямол. Св-ва точек или тела сопрот из-нию ск на-ся инерцией, а сила, с кот происх это сопротивл. – сила инерции. СК для кот справедл 1ая аксиома наз-ся инерц. 2) основной закон динамики: сила, действ на своб мат точку сообщает ей уск,кот в ИСО пропорц этой силе. 3) закон рав-ва действ и противод: сила, с кот действ друг на друга 2 мат точки всегда равны по мод и направл в противопол стороны по прям., соед эти точки. Две основные задачи дин точки : а) прямая (первая): заключ в том, что по заданному дв-нию точки нах-ся сила, действ на точку. Решается при помощи диф ур-ний дв-ния в корд и естественной формах и при помощи принципа Даламбера б) обратная (вторая, основная): заключ в том, что по задан силам, массе и начал усл-ям нах-ся дв-ние точки. Решение – методами интегрир диф ур-ний дв-ния.
20. Принцип Даламбера для мат точки. Диф ур-ния дв точки… Диф ур-ния дв мат точки:
1) в вект форме:
2) в корд форме:
3) в естеств форме:
Принцип Даламбера для мат точки: Если в люб мом дв мат точки кроме факт действ на нее актив силы и реакции связей добавить силу инерции, то получ система будет экв 0. Принцип Д позвол при реш задач динамики использ ур-ние равновесия системы
Способы интегр диф ур-ний дв-ния
21. Ты динам. точки. Имп. пост и переем силы… Ты:
1) об изменении кол-ва дв: из-ние кол-ва дв мат точки за какой-либо промежуток вр = им-су силы, действ на точку за этот же промеж вр-ни.
Им-с пост силы – вект вел, равная пр-нию вект силы на вр действ силы.
Им-с перем силы = сумме эл им-сов.
Кол-во дв мат точки – вект величина, равная пр-нию массы точки на ее ск-ть. Кол-вом дв мех сист. наз-ся гл вектор кол-ва дв всех точек системы.
2) об из-нии кин эн для точки
22. Динам. системы. Внешн и внутрен силы системы… Матер. мех системой наз-ся мн-во взаимосв мат точек. Действ на мех систему акт силы и реакции связей делятся на внеш и внутр. Внешними наз-ся силы, действ на точки системы со стороны точек или тел, не вход в состав данной системы. Внутрен наз-ют силы, с кот точки или тела системы действ друг на друга. Св-ва внутр сил: 1) главный вектор всех внутр сил системы = 0 2) главный мом всех внутр сил системы отн любого центра или оси = 0. Т о дв-нии центра масс: произвед массы системы на уск центра масс равно главному вектору внеш сил, действ. на точки системы. (др. формулировка: центр масс мех системы дв-ся как мат точка, в кот приложены все внеш силы, действ на системы.) Массой мех системы наз-ся сумма масс ее точек. Центром масс мех системы наз-ся геомет точка С, радиус-вектор кот опред по формуле:
Проецируя на оси корд получим:
23. Т об изменении кол-ва дв системы. Т мом-ов… Т об изменении кол-ва дв системы: изменение кол-ва дв мех сист за некоторый промеж вр = сумме им-сов, действ на сист внеш сил за этотже промеж вр. Сл-вия: 1) если гл вектор вн сил мех сист все вр = 0, то вектор кол-ва дв сист постоянен. 2)если сумма проекций всех вн сил мех сист на какую-либо ось все вр = 0, то проекц кол-ва дв на этуось постоянна.
Т мом-ов: Первая пр-ная по вр от кин мом-та мех сис отн некотрого центра или оси = гл мом-ту анеш сил отн этого же центра или оси. Сл-вия: 1) если гл мом внеш сил мех сист отн какого-либо центра все вр = 0, то кин мом сист отн этого центра остается постоян по вел и нап-нию. 2)Если гл мом внеш сил отн какой-либо оси все вр = 0, то кин мом системы отн оси постоянен, это возможно когда в … или парал оси или пересек ось. Диф ур-ния
24. Т об из-нии кин эн системы. Т Кёнига… Т об из-нии кин эн системы: Мех. работа: а) постоян силы - б) переменной
Фор-лы эл работы: а) естеств способ зад дв
б) вектор способ
в) работа силы при вращ дв-нии тела
г) работа силы тяж
д) силы тр
е) норм. реакции
ж) упругости
Т Кёнига: Кин энергия мат системы в абс дв-ни склад. из кин эн центра масс, если в нем сосредоточена масса системы, и кин энергией системы в относит дв-нии вокруг центра масс.
25. Осевые мом-ты инерции. Ты. Радиус инерции… Момент инерции мат точки отн оси – ( осевой мом инерции) величина, равная пр-нию массы точки на квадрат ее рас-ния до этой оси. Для мех сист мом инерции наз-ся скал вел, равная сумме пр-ний масс отделточек на квадраты их рас-ний до оси. Радиус инерции это рас-ние до такой точки, привед масса кот равна массе всего тела. Прив. масса это масса такой точки, мом инерц кот отн осиравен мом инерц тела отн этой же оси. Ты: 1) мом инерц тела отн любой оси = сумме мом-ов инерц частей этого тела отн этой же оси. 2) Штейнера - мом инерц тела отн любой оси равен сумме мом инерции тела отн проход через центр масс тела, парал данной оси и произв массы тела на квадрат расстояния до этой оси. 3) Мом инерции пл фигуры отн оси, перпенд плоск этой фигуры = сумме мом-ов инерции отн 2х взаимно перпенд осей, леж в плоскости фигуры.
1) стержень
2) кольцо
3) цилиндр
26. Принцип Даламбера для мат системы…
В любой мом дв мат системы гл вектор вн сил уравновеш гл вектором сил инерции и главный мом вн сил уравновеш гл мом сил инерции.
Главный вектор сил инерции равен по мод пр-нию массы тела на уск центра масс и направл в сторону обратную уск центра масс.
Для мат системы главный мом сил инерции = взятой со знаком – пр-ной по вр от кин мом инерции
27. Анал мех. Кл-ция связей. Позволяет описать поведение системы мин кол-вом ур-ний, не вводя при этом неизвестные реакции связей. Кл-ция: Связи - ограничения, налож на положение и ск-ти точек мех системы, кот осуществл некоторыми матер и выполняются незав от того какие на систему действуют заданные силы. Ур-ние, кот выраж данное ограничение – ур-ние связи. Связи, не измен со временем стационарные, а измен со временем – не стац. Связи, налагающ ограничения на полож точек системы – геометрическими, а налагающ огран-ия на ск точек системы – кинемат или дифференц. Если диф связь можно предст как геометр то такая связь наз-ся интегрируемой, наоборот – неинтегр. Геометр и интегрир диф связи наз-ют связями голономными, а не интегр диф – неголономными. Различают связи удерживающие, налагаемые ими огран-ия сохр при любом положении системы (двухсторонние) и неудерживающие (одностор) – не облад таким св-вом. Идеальные связи – это связи, работа реакции кот на любом возмож перемещ = 0, наоборот – неидеальные.
28. Возм перемещ. Общее ур-ние динамики. Возмож перемещ мех системы – это любая совокупность элементар перемещ точек этой системы из … в данный момент вр положения, кот допуск всеми наложенными на систему связями. В общем случае мех система может иметь мн-во различных возмож перемещений. Число независимых возм перемещ мех системы наз-ся числом степеней свободы этой сист. Принцип возм перемещ (ПВП): Из статики известно, что для равновес мех системы необход и достаточно, чтобы сист сил, действ на каждую точку системы, была уравновеш и чтобы в начал момент вр мех система нах-сь в покое. Возмож работа это элемент работа, кот действ-ая на мат точку сила могла бы совершить на перемещ, совпадающем с возможным перемещ этой точки. Связи наз-ся идеальными, для кот сумма элемент работ ихреакций на любом возмож перемещ системы = 0. Для рав-сия мех системы с идеал связями необх и достаточно, чтобы сумма эл работ всех действ на нее активных сил при любом возмож перемещ системы была = 0.Общее ур-ние динамики (ОУД) – объед 2 принципа: принцип возм перемещ и принцип Даламб. Если ко всем точкам системы кроме действ на них акт сил и реакций связи добавить соответств силы инерции, то согласно принципу Даламб.полученная система сил будет нах-ся в равновесии. Примененив к этим силам принцип возм перемещ получим:
29. Ур-ние Лагранжа 2 рода. Послед реш. задач. Обобщенные координаты – независимые друг от друга величины, заданием кот опред положение всех точек данной системы. Число ок = числу ст свободы. Пр-ные от обоб координат по вр – обобщ ск-ти системы. Обобщ сила:
Чтобы найти: 1) определить число ст свободы 2) выбрать объедин коор-ту 3) задать приращ объедин коон-те и вычисл сумму элем работ всех сил, действ на систему на этом перемещении 4) опред обобщ силу. Ур-ние Лагранжа 2 рода:
Алгоритм решения задач: 1) опред число ст свободы системы = кол-ву ур-ний Лагранжа и числу независ возмож перемещ. 2) Запис ур-ние Лагранжа через обобщ к-ту и обобщ ск-ти. 3) найти выр кинет энерг системы в абс дв-нии через обобщ ск-ти и обобщ коор-ты. 4) взять час пр-ную от кин энергиипо обобщ ск-ти. 5) найти полную пр-ную по вр от частной пр-ной кин энергии по обобщ ск-ти 6) взять час пр-ную от кин энергии по обобщ к-те.7) найти обобщ силу 8) приравнять левую и правую части и приравнять искомые величины.