Антагонистическими называются игры, в которых результат, выгодный одному участнику всегда невыгоден другому. Другое название таких игр – игры с противоположными интересами. Частным случаем игры с противоположными интересами является игра с постоянной суммой.


Рассмотрим игру с постоянной суммой, в которой участвуют два игрока. Будем считать, что каждый игрок имеет конечное множество стратегий. Будем также считать, что при любом исходе игры, сумма выигрышей двух участников равна постоянному числу H. Тогда формальное описание игры будет следующим:

1. Множество участников
2. Множество стратегий
3. Множество исходов i – номер стратегии 1-го участника; j – номер стратегии 2-го участника.
4. Платёжная функция.
– выигрыш 1-го участника для исхода ;
– выигрыш 2-го участника для исхода
Предположим, что при некотором исходе выигрыш некоторого (1-го участника) равен:

.
То есть, при каждом исходе 1-й участник получает а 2-й – теряет Таким образом, игру с постоянной суммой можно представить как игру с нулевой суммой: при каждом исходе, выигрыш 1-го участника равен проигрышу 2-го участника.
Игру с нулевой суммой можно представить в виде таблицы, в клетках которой указываются значения выигрыша 1-го участника (равные проигрышу 2-го участника). Таким образом, игру с нулевой суммой можно задать с помощью матрицы:

Номер строки соответствует номеру стратегии 2-го участника, номер столбца соответствует номеру стратегии 1-го участника. Матрица A в называется платёжной матрицей. Представление игры с помощью платежной матрицы называют нормальной записью игры (или нормальным представлением игры).
Очевидно, что 1-й игрок предпочитает те исходы, в которых значение элемента платежной матрицы будет наибольшим, а 2-й игрок исходы, в которых соответствующий элемент будет наименьшим. Однако, исход зависит от выбора обоими игроками своих стратегий. Поэтому, рациональный игрок при выборе своей стратегии должен просчитывать, какие стратегии предпочтет его соперник. Решением игры будем называть исход игры, рассчитанный в предположении, что игроки рациональны, т.е. оптимизируют свой результат на основе какого-либо разумного критерия.